Cette tradition trouverait son origine en France, en 1564. La légende veut que jusqu’alors, l’année aurait commencé au 1^er avril (en fait le 25 mars correspondait selon le calendrier julien au Jour de l'an), à la fête de l'Annonciation à Marie avec la tradition de s'échanger des cadeaux. Mais le roi de France Charles IX décida, par l’Édit de Roussillon, que l’année débuterait désormais le 1^er janvier, marque du rallongement des journées, au lieu de fin mars, arrivée du printemps. En fait, l’année civile débutait à différentes dates selon les régions, voir Édit de Roussillon.

Si l’origine exacte de l’utilisation des poissons reste obscure, il semble que beaucoup de personnes eurent des difficultés à s'adapter au nouveau calendrier, d'autres n'étaient pas au courant du changement et continuèrent à célébrer le 1^er avril selon l'ancienne tradition. Pour se moquer d'elles, certains profitèrent de l’occasion pour leur remettre de faux cadeaux et leur jouer des tours. Les cadeaux que l'on s'offrait en avril étaient le plus souvent alimentaires. Cette date étant à la fin du Carême, période de jeûne durant laquelle la consommation de viande est interdite chez les Chrétiens, le poisson était le présent le plus fréquent. Lorsque les blagues se développèrent, l'un des pièges les plus courants était l'offrande de faux poissons. Ainsi naquit le fameux poisson d’avril, le jour des fous, le jour de ceux qui n’acceptent pas la réalité ou la voient autrement. (source)

Voir aussi l'article Les calendriers et le début de l'année pour l'édit de Roussillon.